Можно ли продать квартиру, а затем еще некоторое время в ней жить, пока в новой идет ремонт?

Это возможно, если покупатель вашей квартиры будет не против. В условиях продажи нужно указать отсрочку выезда и срок, который вы планируете  еще жить в проданном помещении. Найти таких покупателей сложно, но вполне возможно.